Himpunan

HIMPUNAN

1. 1.    Mengenal Himpunan

Himpunan adalah kumpulan atau kelompok benda (objek) yang dapat didefinisikan dengan jelas.

• Contoh Himpunan:

1. Kumpulan hewan yang bisa terbang
2. Kumpulan buah berbiji banyak
3. Kumpulan hewan pemakan daging

• Contoh Bukan Himpunan :

1. Kumpulan film kartun yang lucu
2. Kumpulan makanan yang enak
3. Kumpulan lukisan yang indah

1. 1.    Notasi dan Anggota Himpunan

Suatu himpunan biasanya diberi nama atau dilambangkan dengan huruf kapital seperti A,B,C,D,...sedangkan objek atau benda yang termasuk kedalam himpunan ditulis dengan huruf kecil dan menggunakan pasangan kurung kurawal { ... }

Contoh : Nyatakan himpunan berikut dengan menggunakan kurung kurawal !

1. A adalah himpunan huruf-huruf vokal

 A = { a,i,u,e,o}

1. Q adalah himpunan bilangan ganjil kurang dari 5

Q = { 1,3 }

3. Menyatakan suatu himpunan

a. Dengan kata-kata ( metode deskripsi )

yaitu dengan cara menyebutkan semua syarat atau sifat keanggotaannya

contoh :  A adalah himpunan bilangan asli antara 1 dan 10, ditulis

A = { bilangan asli antara 1 dan 10 }

b. Dengan notasi pembentuk himpunan ( metode rule )

yaitu dengan cara menyebutkan semua syarat atau sifat keanggotaannya namun anggota himpunan dinyatakan dengan suatu peubah. Peubah yang biasa digunakan adalah x atau y.

Contoh : A adalah himpunan bilangan asli antara 1 dan 10, ditulis

A = { 1 < x < 10, x ϵ bilangan asli }

c.Dengan mendaftar anggota-anggotanya ( metode tabulasi/roster )

yaitu dengan menyebutkan anggota-anggotanya, menuliskannya dengan menggunakan kurung kurawal dan anggota-anggotanya dipisahkan dengan tanda koma.

Contoh : A adalah himpunan bilangan asli antara 1 dan 10, ditulis

A = { 2,3,4,5,6,7,8,9 }

4.Himpunan berhingga,tak berhingga,nol dan kosong

• Himpunan berhingga adalah himpunan yang memiliki banyak anggota berhingga
• Himpunan tak berhingga adalah himpunan yang memiliki banyak anggota tak berhingga
• Himpunan nol adalah himpunan yang mempunyai satu anggota yaitu nol (0)
• Himpunan kosong adalah himpunan yang tidak mempunyai anggota dinotasikan dengan {  } atau Ø

Contoh :

Tentukan banyak anggota dari himpunan berikut !

1. A = { 4,8,12,16 }

Jawab : Banyak anggota A adalah 4 ditulis n (A) = 4

1. P = { 1,2,3,5,...}

Jawab :Banyak anggota P adalah tak berhingga atau n (P) = ~

1. A adalah himpunan ikan yang hidup di udara

Jawab : tidak ada ikan yang hidup di udara maka A = {    }

1. Q adalah himpunan bilangan cacah kurang dari 1

Jawab : Q = {0}

5.Himpunan bagian

a. pengertian himpunan bagian

Perhatikan himpunan-himpunan berikut !

A = { 1,3,5 }

B = { 2,4,6,8 }

C = { 1,2,3,4,5 }

Dari pernyataan di atas dikatakan bahwa A merupakan himpunan bagian dari C atau C himpunan bagian dari A

b. Menentukan banyaknya himpunan bagian dari suatu himpunan

banyaknya himpunan bagian = 2ⁿ, dengan n yaitu banyaknya anggota.

Contoh :

1.Tentukan banyaknya himpunan bagian dari himpunan bilangan asli kurang dari 5 !

Jawab : A = { 1,2,3,4 } maka n (A) = 4

Jadi banyaknya himpunan bagian dari A adalah 2ⁿ = 2⁴ = 16

6.Operasi Himpunan

a. Irisan Dua Himpunan (interseksi) dinotasikan dengan ∩

contoh : A = { 1,2,3,4,5 }

B = { 1,3,5,7,9 }

Maka A ∩ B = { 1,3,5 }

Anggota himpunan A dan B adalah anggota himpunan A dan sekaligus menjadi anggota himpunan B = {1,3,5}. Anggota himpunan A yang sekaligus menjadi anggota himpunan B disebut dengan irisan dua himpunan ( interseksi )

b. Gabungan Dua Himpunan (Ụ)

jika dua buah himpunan, gabungan himpunan A dan B adalah himpunan yang anggotanya terdiri atas anggota-anggota A atau anggota-anggota B.

Contoh : A = { 1,2,3,4 }

 B = { 4,5,6 }

Maka A Ụ B = {1,2,3,4,5,6}

c. Komplemen Suatu Himpunan

Komplemen himpunan A adalah suatu himpunan yang anggota-anggotanya merupakan anggota S tetapi bukan anggota A. Dengan notasi pembentuk himpunan dituliskan :

A^c = { x / x ϵ S dan x bukan anggota A}

Contoh :

S = {1,2,3,4,5,6,7}

A = {2,4,6}

Tentukan komplemen dari A!

Jawab : A^c = {1,3,5,7}

1. a.    Selisih Dua Himpunan ( difference )

Selisih himpunan A dan B adalah himpunan yang anggotanya semua anggota dari A tetapi bukan anggota dari B. Selisih himpunan A dan B dinotasikan dengan A – B.

A – B = { x / x ϵ A dan x bukan anggota B}

Contoh :   A = {1,2,3,4}

B = {1,4,9,16}

Selisih A dan B adalah A – B = {1,2,3,4} – {1,4,9,16} = {2,3}

Selisih B dan A adalah B – A = {1,4,9,16} – {1,2,3,4} = {9,16}

7. Penggunaan Diagram Venn dalam Soal Cerita

Contoh :

1. Dalam suatu kelas terdapat 38 anak gemar voli, 28 anak gemar basket dan 23 anak gemar keduanya. Berapa banyak anak dalam kelas itu?

Jawab : Banyak anak dalam kelas = 15 + 23 + 5 = 43 anak

1. Dalam suatu perumahan terdapat 45 orang warga, 22 orang gemar bersih-bersih taman, 20 orang gemar menanam bunga dan 15 orang gemar keduanya. Tentukan banyak warga yang tidak menyukai keduanya dan warga yang hanya gemar bersih-bersih taman dan warga yang hanya gemar menanam bunga saja!

Jawab : A = bersih-bersih taman

B = menanam bunga

Banyaknya warga yang tidak gemar keduanya = 45 – (7 + 15 + 5) = 18 orang

Banyaknya warga yang hanya gemar bersih-bersih saja = 22 – 15 = 7 orang

Banyaknya warga yang hanya gemar menanam bunga saja = 20 – 15 = 5 orang